t-тест онлайн с решением по шагам: Уэлч для двух независимых выборок (по умолчанию), Стьюдент с равными дисперсиями, парный «до и после» и одновыборочный против μ₀. Статистика t, степени свободы, p-value, критическое значение, доверительный интервал разницы и d Коэна; проверка нормальности и дисперсий, печать решения и код Python и R.
Цифры остаются в браузере и никуда не отправляются
Две независимые выборки без допущения о равных дисперсиях — безопасный выбор по умолчанию: при равных дисперсиях даёт почти то же, что Стьюдент, при разных не ошибается.
Две независимые выборки, дисперсии считаем равными. Если это не так, Стьюдент завышает или занижает p — проверьте равенство дисперсий ниже.
Одни и те же объекты до и после: сравниваем разности по парам. Число значений в A и B должно совпадать.
Одна выборка против известного значения μ₀ — нормы, плана, паспортного значения.
Введите число μ₀
Числа через пробел, точку с запятой, «, » или с новой строки — можно вставить столбец из Excel. Дробная часть — через запятую или точку.
α = 0,05 · двусторонняя проверка
Уровень значимости α
Проверка
Выбирайте, только если заранее решили, что B не может быть хуже, и отрицательный результат вас не интересует.
02
Результат
Статистика t
2,887
Степени свободы
5,54
p-value
0,0305
Размер эффекта d Коэна
1,83
большой
Различие значимо
|t| = 2,887 > t крит = 2,497, p = 0,0305 < 0,05 — отвергаем H₀: средние различаются.
Проверьте данные
Исправьте поля, отмеченные красным, — решение появится сразу.
03
По шагам
1
Исходные данные
A: nA = 5, xA = 13, s2A = 2,5B: nB = 5, xB = 18, s2B = 12,5
|t| = 2,887 > t крит = 2,306 — отвергаем H₀. Доверительный интервал разницы (95 %): от 1,0059 до 8,9941. Размер эффекта d = 1,83 — большой.
1
Исходные данные
Разности d = B − A: 4; 3; 4; 3; 11n = 5, d = 5, sd = 3,3912
2
Гипотезы
H0: μd = 0H1: μd ≠ 0
3
Формула и подстановка
t = dsd / √n = 53,391 / 2,236 = 3,297, df = n − 1 = 4
4
Критическое значение и p-value
tкрит(0,05; 4) = 2,776p = 2 · P(T > |t|) = 0,0300
5
Вывод
|t| = 3,297 > t крит = 2,776 — отвергаем H₀. Доверительный интервал разницы (95 %): от 0,7893 до 9,2107. Размер эффекта d = 1,47 — большой.
1
Исходные данные
n = 5, x = 13, s = 1,5811, μ0 = 12
2
Гипотезы
H0: μ = 12H1: μ ≠ 12
3
Формула и подстановка
t = x − μ0s / √n = 13 − 121,581 / 2,236 = 1,414, df = n − 1 = 4
4
Критическое значение и p-value
tкрит(0,05; 4) = 2,776p = 2 · P(T > |t|) = 0,2302
5
Вывод
|t| = 1,414 ≤ t крит = 2,776 — оснований отвергнуть H₀ нет. Доверительный интервал разницы (95 %): от −0,9632 до 2,9632. Размер эффекта d = 0,63 — средний.
dfα 0,10α 0,05α 0,01
16,31412,70663,657
22,9204,3039,925
32,3533,1825,841
42,1322,7764,604
52,0152,5714,032
61,9432,4473,707
71,8952,3653,499
81,8602,3063,355
91,8332,2623,250
101,8122,2283,169
121,7822,1793,055
151,7532,1312,947
201,7252,0862,845
251,7082,0602,787
301,6972,0422,750
401,6842,0212,704
601,6712,0002,660
1201,6581,9802,617
Двусторонние значения. Для односторонней проверки берите столбец с удвоенным α. Строка ваших df подсвечена; дробные df Уэлча — между строками.
По шагам — по шагам
04
Проверка предпосылок
Нормальность (Шапиро–Уилк)
A: W = 0,987, p = 0,967; B: W = 0,836, p = 0,154. Отклонений от нормальности не видно. При малых n проверка слабая.
Равенство дисперсий
Ливин (по медиане): W = 0,595, p = 0,463; F-тест: F = 5,00, p = 0,148. Различие дисперсий не доказано.
В B значения 24 далеко от остальных (за 1,5 межквартильного размаха).
Данные скошены — сверьтесь с критерием Манна–Уитни.Манн–Уитни
Когда сравнивают средние количественного признака: рост, баллы, время, давление. Две независимые группы — критерий для независимых выборок, одни и те же объекты до и после — парный, одна выборка против нормы — одновыборочный. Пример: A = 12, 15, 11, 14, 13 и B = 16, 18, 15, 17, 24 — t = 2,887, различие значимо при α = 0,05. Для долей и конверсий нужен z-тест, а не t.
Стьюдент считает дисперсии групп равными и объединяет их, Уэлч оценивает каждую отдельно и уменьшает степени свободы по формуле Саттерсвейта. На тех же данных t одинаков — 2,887, но у Стьюдента df = 8 и p = 0,020, у Уэлча df = 5,54 и p = 0,030: разброс в B больше. При равных дисперсиях Уэлч почти не теряет точности, поэтому он стоит по умолчанию.
Парный — когда каждое значение A связано с одним значением B: тот же пациент до и после лекарства, та же деталь на двух станках. Он сравнивает разности по парам и убирает разброс между объектами, поэтому чувствительнее. Шесть пациентов с давлением 150, 142, 160… до и 141, 138, 150… после дают t = −7,88 у парного; если пары перепутать, ответ будет неверным. Независимые группы разных людей — непарный.
Число независимых значений, по которым оценён разброс. У одной выборки из n значений df = n − 1: одно уходит на среднее. У Стьюдента для двух групп df = n₁ + n₂ − 2, у парного — число пар минус один. От df зависит форма t-распределения: при df = 4 критическое t равно 2,776, при df = 30 — 2,042, при бесконечных df оно приближается к 1,96.
При n больше 30–50 в группе t-тест устойчив и к скошенным данным: среднее распределено почти нормально. При малых выборках с выбросами или сильной скошенностью сверьтесь с критерием Манна–Уитни — он работает с рангами. Калькулятор сам проверяет выборки тестом Шапиро–Уилка до 50 значений и отмечает выбросы за 1,5 межквартильного размаха. Например, одно значение 24 среди 15–18 — выброс.
По таблице: строка — степени свободы, столбец — уровень значимости. Для двусторонней проверки при α = 0,05 и df = 8 критическое t = 2,306; если |t| больше, гипотезу о равенстве средних отвергают. Для односторонней берут столбец с удвоенным α: при df = 8 это 1,860. Калькулятор считает критическое значение и для дробных df Уэлча, а таблица раскрывается под решением.