Доверительный интервал онлайн с решением по шагам: для доли — Уилсон, Клоппер–Пирсон и Вальд рядом, с объяснением, где простая формула ломается; для среднего — t-интервал по данным или по сводным; погрешность опроса и сколько человек опросить для нужной точности. Уровень 90, 95 или 99 %, код Python и R.
Цифры остаются в браузере и никуда не отправляются
Диапазон, в котором, скорее всего, лежит настоящее значение доли или среднего. Его строят по выборке, и он тем уже, чем больше данных. Например, 45 довольных клиентов из 50 опрошенных — это 90 %, но про всех клиентов можно сказать только «от 78,6 до 95,7 %» при уровне 95 %. Одно число без интервала скрывает, насколько оно неточно.
Простой интервал Вальда — доля плюс-минус z стандартных ошибок — ломается у краёв и при малых числах. Для 45 из 50 он доходит до 98,3 % вместо 95,7 % у Уилсона, а при 0 успехах из 30 даёт нулевую ширину, будто доля точно равна нулю. Уилсон корректен при любых долях, а точный Клоппер–Пирсон чуть шире: от 78,2 до 96,7 %.
Для худшего случая, доли около 50 %, погрешность равна z · √(0,25 / n), где z = 1,96 при уровне 95 %. Для 1 000 опрошенных это ±3,1 %, для 2 000 — ±2,2 %, для 100 — ±9,8 %. Обратная задача: чтобы получить ±3 %, нужно опросить 1 068 человек. Формула верна для случайной выборки; перекос в составе опрошенных она не исправляет.
Это надёжность метода, а не вероятность для одного интервала. Если много раз брать новую выборку и строить интервал тем же способом, в 95 случаях из 100 он накроет настоящее значение. Про уже построенный интервал нельзя сказать «истина внутри с вероятностью 95 %»: она либо там, либо нет. Уровень 99 % даёт интервал шире, 90 % — уже.
Нужен t-интервал: среднее плюс-минус критическое t, умноженное на стандартную ошибку s / √n. Он шире нормального, потому что разброс тоже оценён по тем же данным, и чем меньше n, тем сильнее. Для 12, 15, 11, 14, 13 среднее 13, s = 1,58, t = 2,776 при df = 4, интервал — от 11,04 до 14,96. По сводным считается так же.
Увеличить выборку или снизить уровень доверия. Ширина падает как 1 / √n: вчетверо больше данных — вдвое уже интервал. Опрос 1 000 человек даёт ±3,1 %, опрос 4 000 — ±1,55 %. Переход с 95 на 90 % сужает интервал примерно на 16 %, но и ошибается такой интервал вдвое чаще. Для среднего помогает ещё и меньший разброс: очистка от ошибок ввода.